Espace vectoriel topologique localement convexe
\(E\) muni d'une famille de
Semi-normes \((\lvert\cdot\rvert_i)_{i\in I}\)
- est muni de la Topologie la plus grossière qui rend continues les semi-normes
- une Base de voisinages de \(x\in E\) est donnée par : $$B_{I_0}(x,\varepsilon)=\{y\in E\mid\forall i\in I_0,\lvert x-y\rvert_i\lt \varepsilon\}\quad\text{ avec }\quad \varepsilon\gt 0,I_0\subset I\text{ fini}$$
- caractérisation des evtlc séparés : la somme des semi-normes est séparée : $$\forall x\in E,\quad\Big(\forall i\in I,\lvert x\rvert_i=0\Big)\implies x=0$$
- on dira alors que c'est un evtlcs
- caractérisation des Fonction continues \(f:(E,(\lvert\cdot\rvert_i)_{i\in I})\to(F,(\lvert \cdot\rvert_j)_{j\in J})\) dans les evtlcs : $$\forall j\in J,\forall I_j\subset I\text{ fini},\exists C_j\geqslant0,\forall x\in E,\quad \lvert u(x)\rvert_j\leqslant C_j\max_{i\in I_j}\lvert x\rvert_j$$
- pour une famille dénombrable de semi-normes, la topologie est métrisable avec la distance : $$d:(x,y)\longmapsto\max_{n\in{\Bbb N}}\min(2^{-n},\lvert x-y\rvert_n)$$
- la caractérisation de la complétude ou de la convergence se fait en regardant l'ensemble des semi-normes
Questions de cours
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un exemple d'evtlc avec une suite graduée de semi-normes.
Verso: $$\begin{align}\mathcal C_b^\infty(\Omega)&:=\{f\in\mathcal C^\infty(\Omega)\mid f\text{ et toutes ses dérivées sont bornées}\}\\ \quad\text{ avec }\quad\lvert f\rvert_n&:=\max_{\lvert\alpha\rvert_1\leqslant n}\lVert\partial_\alpha f\rVert_\infty=\max_{\alpha_1+\dots+\alpha_d\leqslant n}\left|\!\left|\frac{\partial^{\alpha_1+\dots+\alpha_d}f}{\partial^{\alpha_1}x_1\dots\partial^{\alpha_d}x_d}\right|\!\right|_\infty\end{align}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une famille de semi-normes dénombrable pour l'evtlc suivant : $$L^p_{loc}(\Omega):=\{f\in L^*(\Omega,\operatorname{Leb})\mid \forall K\subset_c\Omega,f_{\rvert_K}\in L^p(K)\}$$
Verso: On se donne une
Suite exhaustive de compacts \((K_n)_n\) et on se donne la famille de semi-normes : $$\lvert f\rvert_n=\lVert f_{\rvert K_n}\rVert_{L^p(K_n)}$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner une famille de semi-normes dénombrable pour l'evtlc suivant : $$\mathscr S({\Bbb R}^d):=\{f\in\mathcal C^\infty({\Bbb R}^d)\mid\forall n\in{\Bbb N},\forall\alpha\in{\Bbb N}^d, \lvert f\rvert_{n,\alpha}\lt +\infty\}$$
Verso: On se donne une
Suite exhaustive de compacts \((K_n)_n\) et on se donne la famille de semi-normes : $$\lvert f\rvert_{n,\alpha}=\sup_{x\in{\Bbb R}^d}(1+\lvert x\rvert^2)^{n/2}\lvert \partial_\alpha f(x)\rvert$$
Bonus:
Carte inversée ?:
END
Exercices
